初三数学问题

23.已知关于X的方程有两个实根，关于Y的方程有两个实根，和。当，求m的取值范围。

八、(此题满分8分)

24.已知AB是半圆O的直径，C点在BA的延长线上移动(C点与A点不重合)，直径为OC的半圆M与半圆O相交于D点，∠DCB的平分线与半圆M相交于E点..

(1)验证:CD是半圆O的切线(图1)；

(2)设EF⊥AB在f点(图2)，猜想EF等于现有线段的一半，并证明；

(3)在上述条件下，过E点为CB的平行线与CD相交于n点，当NA与半圆O相切时(图3)，求∠EOC的正切值。

图1

图2

图3

23.解:∵关于X的方程有两个实根，x1和x2。

求解(1)

关于y的方程有两个实数根。

解是0≤n≤4。

从根和系数的关系

收拾一下，拿

它可以从二次函数的图像中获得

当2

从①和②得到的m的范围是

八，

24.(1)证明:如图1，连接OD，OD是半圆o的半径。

图1

∫OC是半圆的直径m。

∴∠CDO=90

∴CD是半圆o的切线

(2)猜测:

证明三:如图，连接OD和ME，OD和ME相交于h点。

∫CE共享∠DCB

∴ ∴ME⊥OD,OH

∵EF⊥CO ∴∠MFE=∠MHO=90

∫∠电动势=∠OMH，ME=MO

∴△MEF≌△MOH

∴EF=OH ∴

(3)解法:如图3，将OE交点CD延伸到点k。

图3

设OF=x，EF=y，那么OA=2y。

∵NE//CB，EF⊥CB，NA在a点相切半圆o

∴四边形阿芬是长方形。

∴

和(2)的第一个证明一样，E是OK的中点。

∴N是CK的中点

∴Rt△CEF∽Rt△EOF

∴

∴

解决

∴tan∠EOC=3

25.(1)解法:∫抛物线与X轴相交于A点和b点。

关于x的方程有两个不相等的实根。

解决

∵点a在点b的左边，m >；0,∴A(-m,0),B(2m,0)

解2:如图2，过O点为OG//AC，在g点。

图2

∴△CED∽△OGD ∴

dc =多∴CE=OG

∫og//AC ∴△bog∽△bae∴

ob = 2m，AB=3m ∴

(3)方案一:如图3所示。

图3

∵C点在一条抛物线上(与A点不重合)，C点和A点与Y轴的距离相等。

∴C(m,2m2)

过点E是DC边缘的高EP，过点A是OC边缘的高AQ。

∴EP//AQ

∴△CEP∽△CAQ

∴

∵

∴

解决方法是m=2。

∴抛物线的解析式是

C点坐标为(2，8)，B点坐标为(4，0)。

D点和C点垂直于X轴，X轴分别与M点和N点相交。

∴DM//CN

D是OC的中点

∴

∴d点的坐标是(1，4)。

设直线的解析式如下

∴直线BE的解析式为

解决方案2:如图4所示，连接OE。

图4

D是OC的中点

∴

以下与(3)的解决方案1相同

23.如图①所示，OP是∠MON的平分线。请以OP所在的直线为对称轴，画一对全等的三角形。请参考全等三角形的这种方法，回答以下问题:

(1)如图②所示，在△ABC中，∠ACB为直角，∠B = 60°，AD和CE分别为∠BAC和∠BCA的平分线，AD和CE相交于f点，请判断并写出FE和FD的定量关系；

(2)如图③所示，在△ABC中，若∠ACB不是直角，且(1)中其他条件不变，请问您在(1)中的结论是否仍然成立？如果有，请证明；如果没有，请说明原因。

24.已知抛物线y=ax2+bx+c分别与Y轴相交于点A (0，3)，与X轴相交于点B (1，0)和C (5，0)。

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)若D点是线段OA的平分线，求直线DC的解析式；

(3)若一个动点P从OA的中点m出发，先到达X轴上的一点(设为E点)，然后到达抛物线对称轴上的一点(设为F点)，最后移动到A点..求使P点总路径最短的E点和F点的坐标，求这条最短总路径的长度。

25.我们给出如下定义:如果一个四边形的两条对角线相等，则称为等对角线四边形。请回答以下问题:

(1)在你所学过的特殊四边形中写出等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线的锐角为60°时，证明了面对60度角的两条边之和与其中一条对角线的关系，证明了你的结论。

23.解:(1)Fe和FD的数量关系为Fe = FD。

(2)A:(1)中的结论Fe = FD仍然成立。

证明1:如下图，在AC上截取AG = AE，连接FG。

因为∠ 1 = ∠ 2，所以AF是男方。

证明△AEF≔△AGF

所以∠ AFE =∠ AFG，Fe = FG。

当∠B = 60°时，AD和CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线。

可用∠ 2+∠ 3 = 60

所以∠ AFE =∠ CFD =∠ AFG = 60。

所以∠ CFG = 60。

若∠ 3 = ∠ 4，FC为共* * *边，则可得△CFG≔△CFD。

所以fg = FD

所以Fe = FD

24.解:(1)根据题意，C = 3。

因此

解决

所以抛物线解析公式是

(2)根据题意，OA的平分线分别为(0，1)和(0，2)。

设直CD的解析式为

当D点坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为

当D点坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为

(3)如图所示，从题中的意思，可以得到

点m关于x轴的对称点是

点A关于抛物线对称轴的对称点是A’(6，3)。

链接A'M '

根据轴对称和两点间的最短线段，A'M '的长度就是需求。

点P运动的最短总路径的长度

因此，A'M '与X轴的交点就是E的点，与直线X = 3的交点就是F的点..

直线A'M '的解析式可由下式得出

E点和F点的坐标分别为(2，0)和(3，0)。

从勾股定理中，我们可以发现

因此，点P的最短总路径(me+ef+fa)的长度为。

25.解:(1)略。

(2)结论:等对角线四边形中两条对角线之间的锐角为60°时，面对60度角的两条边之和大于等于一条对角线的长度。

已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，AC = BD。

且∠ aod = 60。

验证:BC+AD ≥ AC

证明交点D为DF‖AC，DE截取在DF上使DE = AC。

加入CE和BE

所以∠ edo = 60，四边形ACED是平行四边形。

所以△BDE是等边三角形，CE = AD。

所以de = be = AC

①当BC和CE不在一条直线上时(如下图)

△BCE中，有BC+CE > BE。

所以BC+ad > AC

②当BC和CE在同一直线上时(如下图)

那么BC+ce = be

因此BC+ad = AC。

结合①和②，得到BC+AD ≥ AC。

即当等对角线四边形中两条对角线之间的锐角为60°时，面对60度角的两条边之和大于或等于其中一条对角线的长度。

23.如图所示，众所周知

(1)请将两点的中点和(分别在边上。

外)，链接，，写使得这个图只有两个对边。

乘积相等的三角形的对应条件，并表明面积相等

三角形；

(2)根据使(1)成立的相应条件，

证明

23.如图所示，众所周知

(1)请将两点的中点和(分别在边上。

外)，链接，，写使得这个图只有两个对边。

乘积相等的三角形的对应条件，并表明面积相等

三角形；

(2)根据使(1)成立的相应条件，

证明

解决方案:

(1)对应的条件是:BD = CE≠DE；

两对面积相等的三角形是△ABD和△ACE，△ABE和△ACD。

证明二:如图，A点和E点是CB和CA的平行线，两条线相交于F点，EF和AB相交于G点，BF相连。那么四边形FECA是平行四边形，所以FE = AC，AF = CE。

因为BD = CE

所以BD = AF

所以四边形FBDA是平行四边形。

所以FB = AD

在△时代，AG+EG >AE。

在△BFG，BG+FG >FB。

可以推导出AG+EG+BG+FG >AE+FB。

所以AB+AC >AD+AE

24.在平面直角坐标系中，抛物线通过两点。

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)设抛物线顶点为，将直线沿轴向向下平移两个单位，得到一条直线，该直线与抛物线对称轴相交于该点，求该直线的解析式；

(3)在(2)的条件下，求与直线距离相等的点的坐标。

解:(1)可以从题意得到。

因此，抛物线的解析式为:

(2)我们知道抛物线的顶点坐标是B()，所以C()，直线经过原点。设直线解析式为，则有。因此，直线的解析式为。

(3)有四个点到直线OB、OC、BC的距离相等的点。

根据勾股定理，OB=OC=BC=2，所以△OBC是等边三角形，四边形ABCO是菱形，而∠BCO = 60°，在点M处连接AC与X轴，很容易证明M点到OB、OC、BC的距离相等。由于A点在∠ BCO的平分线上，所以到达BC和CO

同时也不难计算出A点到OB的距离是，所以A点也是其中之一。同样，不难想到，左、下可以做成与ABCO全等的菱形(如图，其中△OBC是新菱形的一半)，此时必然有两点，使其到直线OB、OC、BC的距离相等。

这四个点的坐标是:m()，a (0，2)，(0，2)，()。

25.我们知道有两条等边的三角形叫做等腰三角形。同样，我们定义至少有一组等边的四边形称为等边四边形。

(1)请在所学的特殊四边形中写出是等边四边形的图形名称；

(2)如图所示，在中间，点和点分别在上面和上面，并且相互设置和相交。如果，，请在图中写出一个等角，猜猜图中哪个四边形是等边四边形；

(3)如果不等于60 in？锐角、点、和分别为on，探究图形中是否存在满足上述条件的等边四边形，证明你的结论。

解决方案:

(1)平行四边形、等腰梯形等。能满足要求。

(2)等于∠A的角为∠BOD(或∠COE)。

四边形DBCE是一个等边四边形。

③这时，DBCE有一个等边四边形。

证明1:如图，CG⊥BE在g点，BF⊥CD在f点。

∠∠DCB =∠EBC =∠A，BC是男方。

∴△BGC≌△CFB

∴BF=CG

∠∠BDF =∠ABC+∠DCB =∠阿贝+∠EBC+∠DCB =∠阿贝+∠A

∠GEC =∠安倍+∠A

∴△BDF≌△CEG

∴BD=CE

因此，四边形DBCE是一个等边四边形。

证明2:如图，在BE上取一点f使得BF=CD，连接CF .

容易证明△BCD≔△CBF，所以BD=CF，∠FCB=∠DBC。

∠∠CFE =∠FCB+∠CBF =∠DBC+∠CBF =∠安倍+2∠CBF =∠安倍+∠A

∠CEF =∠安倍+∠A

∴CF=CE

∴BF=CE

因此，四边形DBCE是一个等边四边形。