贝叶斯推理的一个案例
P(H/D)= P(H)P(D/H)/[(P(H)P(D/H)+P(D/-H)P(-H)]
这就是贝叶斯公式，用贝叶斯公式进行推理的过程叫做贝叶斯推理。根据公式，p(h/d)=(1%×80%)/(1%×80%+99%×9.6%)= 0.078。也就是说，阳性检测结果显示，女方有7.8%的几率患病。但是，艾迪用这个问题让内科医生来判断。结果95%的回答在70%到80%之间，远高于7.8%。虽然贝叶斯公式只是一些简单的乘、加、除过程的组合，一个没有学过这个公式的人可能会不自觉地在推理中应用这个方法，但是包括上述乳腺癌问题在内的很多研究发现，人们经常会犯类似的推理错误。这就是所谓的基础率忽略现象。Kahneman等人(1982)提出了启发式和偏见的方法来解释这一现象，这导致了对贝叶斯推理的大量研究和争论。国内外对贝叶斯推理的研究方法主要是实验方法。向被试呈现不同类型的贝叶斯问题并要求他们回答，用一定的指标评价被试的解题过程和结果，从而考察贝叶斯推理的认知过程和影响因素。本文从贝叶斯推理的影响因素出发，回顾了前人的研究，并对其中一些进行了初步的分析和讨论。某地区居民肝癌发病率为0.0004，现采用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明测试结果是错误的。已知99%的肝癌患者为阳性(患病)，而99.9%的非肝癌患者为阴性(无病)。有多少检测结果呈阳性的人可能患有肝癌？
如果我们用A作为样本“检测结果为阳性”的观察证据，用H作为假设命题“该考生患有肝癌”，那么从上面我们可以知道:
P(H) =0.0004。
P ('h)(即某地区居民未患肝癌的比率)=1-0.0004=0.9996。
P(E/H)(即肝癌患者阳性检测结果的比值)=0.99。
P (e/'h)(即无肝癌患者检测结果阳性的比例)=1-0.999=0.001。
我们现在需要推断的是P(H/E)，也就是在检测结果为阳性的情况下“该考生患有肝癌”的比率。显然，根据重新解释的贝叶斯定理，我们可以很容易地得到P(H/E)的值。
p(H/E)= 0.0004×0.99/((0.0004×0.99)+(0.9996×0.001))= 0.284
这说明在检测结果呈阳性的人中，真正患肝癌的不到三成。这个结果可能令人惊讶，但仔细分析就能理解了。因为肝癌发病率很低，10000人中约有4人患肝癌，而9996人不患肝癌。共对10000人进行了甲胎蛋白法检查。按照误检概率，9996名无肝癌人群中约9996×0.001≌9.994为阳性，另外4名肝癌人群中约4×0.99≌3.96为阳性。仅从13.954(9.994+3.96)阳性人群中，就有3.96人确实患有肝癌，约占28.4%。
从上面的例子可以看出，贝叶斯推理实际上是一种借助新信息修正先验概率的推理方法。显然，如果这种方法运用得当，我们不需要一次收集长期过程中的大量数据，就可以根据概率做出决策，但我们可以不断地用新的信息来修正以前的概率，根据事情的发展做出正确的决策。下面的例子很好地说明了这一点。甲、乙、丙三家工厂生产同一种零件，市场份额分别为10%、25%、65%。已知A、B、C三家工厂生产的零件不合格率分别为30%、20%、10%。现在，从市场上的一批零件中随机选择一个零件。经检验，该零件不合格。这个零件由A厂、B厂、C厂生产的可能性有多大？
在提取备件之前，我们知道A厂产品的概率是10%，B厂产品的概率是25%，C厂产品的概率是65%。这些是先验概率。相比较而言，C厂生产产品的概率最高。现在我们随机抽取市场上的不合格产品，这是一个可以用来修正先验概率的新信息。如果我们用E表示“抽取的零件为不合格品”，H1、H2、H3分别表示假设命题“该零件由甲厂生产”、“该零件由乙厂生产”和“该零件由丙厂生产”，那么从上可知:
P(h 1)= 0.1 P(H2)= 0.25 P(H3)= 0.65
P(E/h 1)= 0.3 P(E/H2)= 0.2 P(E/H3)= 0.1
根据贝叶斯推理，我们很容易得到P(H /E)，P(H)，P(H/E)。在…之中
p(h 1/E)= 0.1×0.3/((0.1×0.3)+(0.25×0.2)+(0.65×0.1))= 0.207
p(H2/E)= 0.25×0.2/((0.1×0.3)+(0.25×0.2)+(0.65×0.1))= 0.345
p(H3/E)= 0.65×0.1/((0.1×0.3)+(0.25×0.2)+(0.65×0.1))= 0.448
显然，根据上述结果，我们可以判断该零件由工厂C生产的可能性从65%下降到了44.8%，而该零件由工厂B生产的可能性从25%上升到了34.5%，该零件由工厂A生产的可能性也从10%上升到了20.7%。
在上面的例子中，如果随机选择的一个产品没有提供足够的信息，您可以随机选择另一个产品来获得更多的信息。现在假设连续两个产品不合格，那么这些产品来自各个工厂的可能性有多大？为了说明这个问题，我们先来计算一下A厂、B厂、C厂的两个产品不合格的概率。假设乘积是无限的，有
P(E/H1)=0.3×0.3=0.09
P(E/H2)=0.2×0.2=0.04
p(E/H3)= 0.1×0.1 = 0.01
然后根据贝叶斯推理，依次得到P(H1/E)、P(H2/E)、P(H3/E)。在…之中
p(h 1/E)= 0.1×0.09/((0.1×0.09)+(0.25×0.04)+(0.65×0.01))= 0.353
p(H2/E)= 0.25×0.04/((0.1×0.09)+(0.25×0.04)+(0.65×0.01))= 0.392
p(H3/E)= 0.65×0.01/((0.1×0.09)+(0.25×0.04)+(0.65×0.01))= 0.255
根据以上结果，我们可以看到，如果连续两次全部不合格，则该批次产品来自A、B、C厂的概率分别为35.3%、39.2%、25.5%。在这种情况下，这批产品来自B厂的可能性变得最大。
我们可以更进一步，假设从一批产品中随机抽取三个产品，抽样结果为:不合格、不合格、合格。此时从A厂、B厂、C厂抽取的不合格品、不合格品、合格品的概率分别为(此时A表示“抽取的零件不合格、不合格、合格”)。
p(E/h 1)= 0.3×0.3×(1-0.3)= 0.063
p(E/H2)= 0.2×0.2×(1-0.2)= 0.032
p(E/H3)= 0.1×0.1×(1-0.1)= 0.009
根据贝叶斯推断，可以得出A厂、B厂、C厂这批产品的可能性分别为
p(h 1/E)= 0.1×0.063/((0.1×0.063)+(0.25×0.032)+(0.65×0.009))= 0.313
p(H2/E)-0.25×0.032/((0.1×0.063)+(0.25×0.032)+(0.65×0.009))= 0.397
p(H3/E)= 0.65×0.009/((0.1×0.063)+(0.25×0.032)+(0.65×0.009))= 0.290
显然，根据新的抽样信息，我们对先验概率进行了修正，使得来自A厂、B厂和C厂的概率分别修正为365、438+0.3%、39.7%和29.0%。
再来看另一个用贝叶斯推理分析伊索寓言《孩子与狼》的例子。
伊索寓言《孩子与狼》讲的是一个孩子每天去山上放羊，狼出没在山上。第一天，他在山上大喊:“狼来了！狼来了！”山下的村民听到声音就去打狼，却发现狼并没有上山来。第二天还是一样。第三天，狼真的来了，但是不管孩子怎么喊，都没有人来救他，因为他之前撒了两次谎，人们都不再相信他了。现在用贝叶斯推断来分析村民对这个孩子的信心是如何下降的。
我们用e表示“孩子撒谎”，用h表示“孩子可信”。我们假设过去村民对这个孩子的印象是P(H)=0.8，然后P('H)=0.2。
我们现在用贝叶斯推断来推断P(H/E)，即孩子说了谎后村民对他的信任度的变化。
在贝叶斯推断中，我们需要用到概率P(E/H)和概率P(E/'H)，前者是可信的孩子说谎的可能性，后者是不可信的孩子说谎的可能性。设P(E/H)=0.1，P(E/'H)=0.5。
村民第一次上山打狼，发现狼没来，就是孩子撒谎。根据这个信息，村民对这个孩子的信心变成了p(h/e)= 0.8×0.1/((0.8×0.1)+(0.2×0.5))= 0.444，说明村民对这个孩子的信心从原来的0.8下降到了0。
在此基础上，我们用贝叶斯推断再次推断P(H/E)，即孩子第二次说谎后，村民对他的信任度变为P(H/E)= 0.444×0.1/((0.444×0.1)+(0.556×0.00)。通过观察，我们知道牵牛花4点左右开花，野玫瑰5点左右开花，龙葵花6点左右开花，牡丹7点左右开花。虽然它们的开放时间不同，但都有一定的开放时间，说明所有的花都有一定的开花时间。
显然，这是一种简单的枚举归纳推理。对比观察前提，“所有的花都有确定的开花时间”这个结论靠谱吗？结论真实可信程度如何？可以用数量来表征吗？这些问题都可以通过贝叶斯推理来解决。
我们用E1，E2，E3，E4分别表示牵牛花有确定的开放时间，野蔷薇有确定的开放时间，龙葵花有确定的开放时间，牡丹有确定的开放时间，它们的连词用字母E表示，结论“所有的花都有确定的开花时间”用H表示，这样，我们现在需要确定的就是P(H/E)。
根据贝叶斯推理的形式，我们有
(1)p(h/e)= p(h)×p (e/h)/(p(h)×p(e/h)+p(' h)×p(e/' h))因为有了枚举和归纳的前提，所以可以从结论中推断出来，即p(e)。因此，从(1):
(2)p(h/e)= p(h)/(p(h)+p(' h)×p(e/' h))根据逻辑否定法则，从(2)可以得出:
(3)P(H/E)= P(H)/(P(H)+(1-P(H))×P(E/' H)
在(3)中，P(E/'H)表示如果归纳结论H不成立，E(如E1，E2，E3，E4等)的概率。)就是一个正面案例。
现在以上问题都可以解决了。对比背景知识可知，结论H的先验概率P(H)=0.5，H不为真时“牵牛花有确定的开放时间”、“野玫瑰有确定的开放时间”等某些情况的先验概率p (e/'h) = 0.8。将上述数据代入(3)得到:
p(H/E)= 0.5/(0.5+(1-0.5)×0.8
= 0.5/0.90
= 0.56
这表明，与观察证据E1、E2、E3和E4相比，结论H(所有花都有确定的开花时间)的可靠性为56%。