平面向量与三角形四心公式
一些结论:以下都是向量。
1如果P是△ABC的重心，PA+PB+PC=0。
2如果p是△ABC的PA？PB=PB？PC=PA？PC(内部产品)
3如果P是△ABC的内aPA+bPB+cPC=0(abc是三边的)。
4如果p是△ABC |PA|的外中心？=|PB|？=|PC|？
(AP表示AP向量|AP|是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)，λ∈[0，+∞)则直线AP穿过△ABC的心。
6 AP = λ (AB/| AB | COSB+AC/| AC | COSC)，λ ∈ [0，+∞)通过重心。
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC)，λ∈[0，+∞)
或者AP=λ(AB+AC)，λ∈[0，+ ∞)通过重心。
8.如果aOA=bOB+cOC，那么0是∠A的质心和∠ B、c的平分线的交点。
以下是一些结论的相关证明。
1.
o是三角形的内部当且仅当aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量。
充足性:
已知aOA矢量+bOB矢量+cOC矢量=0矢量，
根据向量加法，将CO交点AB延伸到d:
OA=OD+DA，OB=OD+DB，代入已知:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0，
因为OD和OC***，之间的连线，可以设置OD=kOC。
上式可以换成(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0的向量，
向量DA和DB***线，向量OC和向量DA和DB不是***线，
所以只能有:ka+kb+c=0，aDA+bDB=0个向量，
根据aDA+bDB=0的向量，DA与DB的长度之比为b/a，
所以CD是∠ACB的平分线，可以证明另外两条也是角平分线。
必要性:
众所周知，O是三角形的中心，
设BO和AC相交于e，CO和AB相交于f，
o是心脏
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
穿过a as CO的平行线与B0的延长线在n处相交，穿过a as BO的平行线与c0的延长线在m处相交，
所以四边形阿曼是平行四边形。
根据平行四边形定律，得出
向量OA
=矢量OM+矢量ON
=(OM/CO)*矢量CO+(ON/BO)*矢量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0。
2.
已知△ABC为斜三角形，O为△ABC所在平面上的不动点，动点P满足向量OP = OA+Enter {(AB/| AB | 2 * Sin2b)+AC/(| AC | 2 * Sin2c)}。
求通过三角形的P点轨迹的垂直中心。
OP = OA+enter {(ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)}，
OP-OA = enter {(ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)}，
AP = enter {(ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)}，
AP？BC= enter {(AB？公元前/|AB|^2*sin2B)+AC？公元前/(|AC|^2*sin2C)}，
AP？BC= enter {|AB|？| BC | cos(180-b)/(|ab|^2*sin2b)+| AC |？|公元前| cosC/(|AC|^2*sin2C)}，
AP？BC= enter {-|AB|？| BC | cos b/(|ab|^2*2sinb cos b)+| AC |？|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)}，
AP？BC = enter {-| BC |/(| AB | * 2 sinb)+| BC |/(| AC | * 2 sinc)}，
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/ sinB，所以|AB|*sinB=|AC|*sinC。
∴-|bc|/(| ab | * 2 sinb)+| BC |/(| AC | * 2 sinc)= 0，
那是AP？BC=0，
点P的轨迹通过三角形的垂直中心。
3.
OP = OA+λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
OP-OA =λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
AP =λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
AP和AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC***
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB，
所以|AB|sinB=|AC|sinC，
所以AP和AB+AC***
AB+AC穿过BC的中点D，所以点P的轨迹也穿过中点D，
点p通过三角形的重心。
4.
OP = OA+λ(ABC OSC/| AB |+ACcosB/| AC |)
OP = OA+λ(ABC OSC/| AB |+ACcosB/| AC |)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP？BC=λ(AB？BC cosC/|AB|+AC？BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|？| BC | cos(180-B)cosC/| AB |+| AC |？|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
矢量AP垂直于矢量BC，
点p的轨迹太垂直了。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|和AC/|AC|是AB和AC方向的单位长度向量，
矢量AB和AC的单位矢量的和矢量，
因为是单位向量，所以模长都相等，形成一个菱形。
向量AB和AC的单位向量的和向量是菱形对角线，
很容易知道是角平分线，所以点P的轨迹穿过心脏。