历届高中数学竞赛问答？

测试问题

一、填空题(每道小题10分，* * *)

，就是这样一个四位数，其位数之和为；像这样，总有四位数的和是* * *。

设级数满足:，任意连续三项，有:。然后是通称。

取抛物线上的一点为直角顶点，抛物线上内接的两个直角三角形为和，则线段和的交点坐标为。

，设置，函数的最大值为。

、 .

正三棱锥的底边长为，侧边长为，交点是与侧边相交的一段。那么，最小周长是。

满足的一组正整数。

，数字之和表示一个正整数，然后。

二、答题(* * *题，总分)

，(20分)，设定并满足的值:。

(分)如图所示，心脏分别是

的中点和内切圆分别与边相切；证明:三线* * *分。

(点)在电脑屏幕上给出一个正多边形，其顶点分别涂为黑色和白色；一个程序执行这样的操作:每次可以选择一个多边形的连续顶点(这里是小于的固定正整数)，只要按一下鼠标键，这个顶点就会“黑白颠倒”，即黑点变白，白点变黑；

证明了如果是奇数，有限次运算后所有顶点都可以变成白色，或者有限次运算后所有顶点都可以变成黑色；

当它是偶数时，是否可以做有限次，使所有顶点都变成同样的颜色？证明你的结论。

回答

提示:这个四位数的数就是满足条件的不定方程的整体解的个数；即非负整数解的个数，其中很容易知道有四个这样的解，也就是总有四个这样的数字。(注:也可以直接上市。)

,.提示:由条件获得，

因此

因此，和；

因此

从这个

。

提示:如果设置了，那么

线性方程是

那是因为，那么

也就是

生成方程

所以点在一条直线上；

类似地，如果设置，等式为

也就是点也在一条直线上，所以交点的坐标是。

,.提示:由

所以，

也就是

得到一个等号当，也就是当。

,.提示:

。

,.提示:做一个三棱锥的侧面展开图，很容易知道∑，可以从最小的周长得到* * *线，所以你是等腰的。

也就是说，

那么，到那时

。

提示:因为是若干个形状，所以一定是奇数，但一定是偶数。让，并为别人得到它。

也就是

。①

偶数，奇数，集合，然后

从(1)中，

, ②

它是奇数，且恰好其中一个是的倍数，如果，是奇数，且只有，②变成。

那就是，然后；

如果，对于一个奇数，且仅，②变成，即它没有整体解；

所以这是唯一的解决方案:

(另外，也可以从偶数开始，使

是的倍数，那么它是的倍数，所以它是偶数个形状。依次拿过来，检查对应的六个数字。)

提示:加自然数，不会改变问题的性质；首先考虑从到的数，都用三位数表示，得到一个集合。很容易知道，对于每一个，第一个数字正好有一个“三位数”:

因此，所有三个数字的第一个数字之和为

。

那么in中每个数的前两位互换成为，得到的1000个数的集合仍然是，

而in中每个数的前两位和后两位互换成为1000个数的集合，因此可知。

。

现在考虑四位数:在中间，第一位(千)，* * *有一个千，而在

，第一个(千)，* * *有一千，因此。

其次，很容易计算，所以，

。

，由

也就是

平方增益

因此

也就是

因此

。

如图，我们在一个点相遇，连线，因为中线∨和等分，那么，所以，因为，你得到一个* * *圆。注意心脏，然后

。

廉，在，因为切线，所以

所以三点* *线就是三线* *点。

证明因为它是一个素数，而且，然后，根据裴舒定理，有一个正整数，这使得

, ①

所以当它是奇数时，它在①中是奇数和偶数。

如果是偶数，就是奇数，那么①改写为:

Make，上面的公式就变成了，这里是奇数和偶数。

总之，有奇数有偶数，使得公式1成立；根据1，

, ②

现在，执行以下操作:选择一个点，从头开始，顺时针操作一个顶点，然后顺时针操作下一个顶点...当这个操作进行多次后，从②可知，该点的颜色已经改变了奇数次，从而改变了颜色，而其他所有顶点的状态都改变了偶数次(次)，颜色保持不变；这种二次运算称为“一轮运算”，因为每一轮运算只是改变一个点的颜色，所以这样的运算经过有限轮次就可以把所有的黑点变成白点，这样多边形的所有顶点都变成白色；也可以在有限轮次这样的操作后，将所有白点变成黑点，这样多边形的所有顶点都变成黑色。

当它是偶数时，您也可以这样做有限的次数，以便多边形的所有顶点都变成相同的颜色。具体来说，我们将得出以下结论:

如果给定的正多边形在开始时有奇数个黑点，偶数个白点，经过有限次运算，多边形的所有顶点都可以变成全黑，但不能变成全白；另一方面，如果给定的正多边形在开始时有奇数个白点和偶数个黑点，经过有限次的运算，多边形的所有顶点都可以变成全白，但不能变成全黑；

因此采用赋值法:白点改为""，黑点改为" "。改变一次颜色，相当于把赋值相乘，改变每个点的颜色，相当于相乘(偶数)，因为；

所以，当一个多边形所有顶点的乘积为，即总* * *中有奇数黑点甚至是偶数白点时，每次运算后，赋值的乘积仍为，所以无论运算多少次，所有顶点都不能变白。

但是这个时候，可以全黑了。这是因为，对于偶数，① ②是奇数，设它是多边形的两个相邻顶点。从该点开始，顺时针操作一个顶点，然后顺时针操作下一个顶点...当重复这个操作时，②知道该点的颜色已经改变了偶数次(次)，所以颜色保持不变，而其他所有顶点都改变了奇数次(次)。从该点开始，该点的颜色保持不变，所有其他顶点在相同的操作后改变它们的颜色。因此，在上述操作之后，只有多边形的两个相邻顶点改变了它们的颜色，而所有其他点的颜色保持不变。

现在，这样的子操作被合并，称为“一轮操作”；每一轮运算都能使黑白相邻两点的颜色互换，所以经过一轮有限的运算，同色的点总能成为多边形的连续顶点；

因此，当多边形在开始时总是有偶数个白点时，每一轮运算都可以把相邻的两个白点变成黑点，这样在有限轮运算后，多边形的所有顶点都变成黑色。

同样，如果给定的正多边形在开始时有奇数个白点，偶数个黑点，经过有限次运算，可以使多边形的顶点全白，但不能全黑；只要把黑点赋给""，白点赋给" "，证明就一模一样了。