参数方程的基础知识

第一，教学大纲的要求

1.了解参数方程的概念，了解一些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程相互转换的方法。将根据给定的参数和条件建立参数方程。

2.理解极坐标的概念。我们将正确地把点的极坐标转换成直角坐标。我们将正确地把极坐标转换成直角坐标，根据给定的条件建立直线和圆锥曲线的极坐标。不需要使用曲线的参数方程或极坐标来寻找两条曲线的交点。

第二，知识结构

1.直线的参数方程

(1)标准公式通过点Po(x0，y0)，倾角为α的直线L(如图)的参数方程为

(t是参数)

(2)斜率为k=tgα=通过定点P0(x0，y0)的直线的参数方程为

(t非参数)②

在通式②中，参数T不具有标准公式中T的几何意义。如果a2+b2=1，②就是标准公式。此时，| t |表示直线上运动点P到固定点P0的距离；若a2+b2≠1，则移动点P到固定点P0的距离为

|t|。

直线的参数方程的应用设定点P0(x0，y0)，带倾角α的直线L的参数方程为

(t是参数)

如果P1和P2是L上的两点，它们对应的参数分别是T1和T2，那么

(1)P1和P2的坐标分别为

(x0+t1cosα，y0+t1sinα)

(x0+t2cosα，y0+t2sinα)；

(2)| p 1p 2 | = | t 1-T2 |；

(3)线段P1P2的中点P对应的参数为t，则

t=

从中点p到固定点P0 | pp0 | = | t | = ||

(4)如果P0是线段P1P2的中点，则

t1+t2=0。

2.圆锥曲线的参数方程

圆心在(a，b)，半径为r的(1)圆的参数方程为(φ为参数)。

φ是动态半径所在直线与X轴正方向的夹角，φ ∈ [0，2π](见图)。

(2)椭圆(a > b > 0)的参数方程为

(φ是参数)

椭圆(a > b > 0)的参数方程为

(φ是参数)

3.极坐标

极坐标系统取平面上的一个固定点O，从O引出一条射线Ox，选择一个单位长度和计算角度的正方向(通常以逆时针方向为正方向)，这样就建立了极坐标系统。O点称为极点，射线Ox称为极轴。

①极点；②极轴；③长度单位；角度单位及其正方向构成了极坐标系统的四要素，缺一不可。

设M是平面上的任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox与OM的夹角，则ρ称为M的极径，θ称为M的极角，有序数对(ρ，θ)称为M的极坐标。